Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie, gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej i oba rzędy są równe niewiadomych w układzie. Układ ma natomiast nieskończenie wiele rozwiązań, gdy rzędy są równe, ale mniejsze niż liczba niewiadomych w układzie. Układ równań liniowych może: (i) nie mieć rozwiązań (nazywany jest wtedy sprzecznym), (ii) mieć jedno rozwiązanie , (iii) mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Układ równań liniowych ( 66 ) nazywa się układem jednorodnym, gdy wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, ; w przeciwnym wypadku układ nazywa się układem niejednorodnym. Próbny zestaw egzaminacyjny: Równania i nierówności, Zadania zamknięte (na 30 min). Treści zadań , Zadania maturalne, 151645 Równanie to ma tylko jedno rozwiązanie, gdy a≠0, a jest to x=(c-b)/a. Dla a=0 równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdyż jest ono postaci b=c. Układ równań liniowych składa się z kilku równań liniowych o kilku niewiadomych. Przykładowo, układ dwóch równań liniowych może mieć postać. Ax+by=c. Dx+ey=f. Układ równań {4x+2y=106x+ay=15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli A.a=−1 B.a=0 C.a=2 D.a=3 Kategorie aa Bez kategorii , Arkusz maturalny maj 2011 Zobacz! Metoda podstawiania. Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ: Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y x (1.2), czyli: Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc: . Jeżeli układ równań nie ma rozwiązań to mówimy, że jest on sprzeczny, a jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań to mówimy, że układ jest nieoznaczony. Każde z równań układu ma oczywiście rozwiązanie, ale nie ma pary liczb spełniającej oba równania jednocześnie; nie może być jednocześnie równe i , bo takie 713KQ. Równanie nazywamy: oznaczonym - jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczonym (tożsamościowym) - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań, sprzecznym - jeżeli nie ma rozwiązań. Rozwiąż równianie: \[3x+1=-3x-2\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne. Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 3x+1&=-3x-2\\[6pt] 3x+3x&=-2-1\\[6pt] 6x&=-3\\[6pt] x&=-\frac{1}{2} \end{split}\] Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-\frac{1}{2}\), zatem jest to równanie oznaczone. Rozwiąż równianie: \[2\cdot (5x-3)+3=3\cdot (2x-1)+4x\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne. Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 2\cdot (5x-3)+3&=3\cdot (2x-1)+4x\\[6pt] 10x-6+3&=6x-3+4x\\[6pt] 10x-3&=10x-3\\[6pt] \end{split}\] Lewa strona równania jest równa prawej, zatem mamy równanie nieoznaczone (tożsamościowe). Równie tego typu ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ dowolna liczba podstawiona pod \(x\) da równanie prawdziwe. Przykładowo dla \(x=7\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 7-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 70-3&=70-3\\[6pt] 67&=67 \end{split}\] Tak samo np dla \(x=2\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 2-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 20-3&=20-3\\[6pt] 17&=17 \end{split}\] Równanie tożsamościowe zawsze można doprowadzić do postaci \(0=0\). W tym przykładzie również: \[\begin{split} 10x-3&=10x-3\\[6pt] 10x&=10x\\[6pt] 0&=100\\[6pt] \end{split}\] Rozwiąż równianie: \[7x-2=7x+3\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne. Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 7x-2&=7x+3\\[6pt] 7x-7x&=3+2\\[6pt] 0&=5 \end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Równanie: \[x^2=4\] nie jest ani oznaczone, ani nieoznaczone, ani sprzeczne, ponieważ ma dwa rozwiązania: \[x=-2\quad \lor \quad x=2\] Równanie: \[x^2=-4\] jest sprzeczne, ponieważ nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę ujemną. nieskończenie wiele rozwiązań układu równań Karla: układ równań { 4x+2y=10 6x+ay= 15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli A. a=−1 B. a=0 C. a=2 D. a=3 bardzo prosze o pomoc, bo trochę tego nie rozumiem byłoby miło gdyby któś podał mi też kiedy układ ma tylko jedno ropzwiązanie a kiedy wcale 19 gru 18:49 ser: a=3 nieskonczenie wiele 19 gru 18:50 Karla: a mógłbyś powiedzieć dlaczego tak? 19 gru 18:51 ogipierogi: podstawiam w miejsce a, trójkę i mam układ ⎧4x+2y=10/razy 3 ⎩6x+3y=15/razy −2 wszystkie wyrazy się redukują i otrzymujesz 0=0 układ nieoznaczony, nieskończenie wiele rozwiązań 19 gru 19:00 19 gru 19:02 Układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny jest dość łatwy do rozpoznania na podstawie obliczeń. Układ równań jest oznaczony, gdy podczas obliczeń otrzymasz jedno rozwiązanie np.: \(\left\{ \begin{matrix} x=3 \\ y=2 \\ \end{matrix} \right.\) Układ równań jest nieoznaczony (tożsamościowy), gdy podczas obliczeń otrzymasz tożsamość np.: 0=0, 1=1, 3=3 itp. Z lewej strony i prawej strony równania otrzymujesz identyczne liczby najczęściej 0=0. Taki układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Układ równań jest sprzeczny, gdy podczas obliczeń otrzymujesz sprzeczność – „fałsz matematyczny” np.: 0≠3, 4≠0, 5≠6 itp. Występuje tu brak rozwiązań. Interpretacja graficzna układu równań Interpretacją układu równań w układzie współrzędnych jest para prostych. Układ równań posiada dwa równania. Każde z nich można narysować w układzie współrzędnych jako prostą. W pierwszej kolumnie jest układ oznaczony. Podczas obliczeń otrzymujemy parę liczb: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {y = 2} \end{array}} \right.\). Liczby x=1 i y=2 są jednocześnie współrzędnymi punktu przecięcia dwóch prostych, których równania są określone przez układ równań. Zatem punkt przecięcia się prostych jest rozwiązaniem graficznym układu równań. W drugiej kolumnie jest układ nieoznaczony. Gdybyś wykonał rachunki wyjdzie nam tożsamość: 0=0. Pozornie równania w tym układzie wyglądają inaczej, ale tak na prawdę można doprowadzić oba równania do tej samej postaci. A skoro równania opisujące proste są identyczne zatem interpretacją układu nieoznaczonego są dwie proste leżące jedna na drugiej (będące tą samą prostą). W takim przypadku mamy nieskończenie wiele punktów wspólnych między tymi dwiema prostymi. Stąd układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań. W trzeciej kolumnie jest układ sprzeczny. Podczas obliczeń otrzymałbyś sprzeczność 0≠-5. W układzie współrzędnych taki układ równań prezentuje się w postaci dwóch prostych równoległych, które nie mają wspólnych punktów. Stąd układ sprzeczny nie ma rozwiązań. Zadanie. Rozwiąż układy równań i odpowiedz, który z nich jest oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny. Zobacz na stronie Zobacz na YouTube Równania w układach równań mogą być zapisane między innymi w: 1. Postaci ogólnej prostej Ax+By+C=0 2. Postaci kierunkowej y=ax+b Układ oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny dla dwóch równań zapisanych w postaci ogólnej Układ dwóch równań zapisanych w postaci ogólnej: \[\left\{ \begin{matrix} {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}=0 \\ {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}=0 \\ \end{matrix} \right.\] jest oznaczony, jeśli \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\) jest nieoznaczony, jeśli \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}.\) W praktyce jedno z równań można doprowadzić do postaci drugiego równania tak, że \({A_1} = {A_2};\;{B_1} = {B_2};\;{C_1} = {C_2}\) jest sprzeczny, jeśli \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}.\) W zadaniach matematycznych można jedno z równań sprowadzić do postaci drugiego tak, że będą się różnić się tylko liczbami, wyrazami wolnymi bez literek. Więc warunek można uprościć do \({A_1} = {A_2};\;{B_1} = {B_2};\;{C_1} \ne {C_2}\) Układ oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny dla dwóch równań zapisanych w postaci kierunkowej prostej: Układ dwóch równań zapisanych w postaci kierunkowej: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = {a_1}x + {b_1}}\\ {y = {a_2}x + {b_2}} \end{array}} \right.\] jest oznaczony, jeśli \({a_1} \ne {a_2}\), współczynniki \({b_1},{b_2}\) są dowolne. jest nieoznaczony, jeśli \({a_1} = {a_2};\;{b_1} = {b_2}.\) W tego typu układach dwa równania są identyczne. Jeśli nie wyglądają tak samo to można przekształcić jedno z nich do postaci drugiego równania, aby otrzymać w końcu identyczne równania. jest sprzeczny, jeśli \({a_1} = {a_2};\;{b_1} \ne {b_2}\). Układy sprzeczne posiadające równania w postaci kierunkowej różnią się tylko współczynnikiem „b”, a pozostała część równań jest identyczna. Porównanie układu oznaczonego, nieoznaczonego i sprzecznego Zadanie. Poniższe zdania odnoszą się do następującego układu \(\left\{ \begin{matrix} 6x-15y=15 \\ 2x-5y=5 \\ \end{matrix} \right.\). Wskaż zdanie prawdziwe. A. Rozwiązaniem układu równań jest dokładnie jedna para liczb. B. Zamieszczony układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. C. Każda para liczb rzeczywistych jest rozwiązaniem układu. D. Zamieszczony obok układ równań nie ma rozwiązań. Zobacz na stronie Zobacz na YouTube Zadanie. Odpowiedz, czy dany układ jest oznaczony, nieoznaczony (tożsamościowy) lub sprzeczny. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8x – 6y = 5\quad }\\ { – 4x + 3y = – 2,5} \end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x – \frac{1}{2}y = 3}\\ {8x – y = 8\,\;} \end{array}} \right.\] Zobacz na stronie Zobacz na YouTube Układ sprzeczny – brak rozwiązań Zadanie. Rozwiąż układ równań. Określ, czy jest to układ oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x – 3y = 5}\\ {2x – 3y = 6} \end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x – 3y = 5}\\ {4x – 6y = 20} \end{array}} \right.\] Treść dostępna po opłaceniu abonamentu Ucz się matematyki już od 25 zł. Instrukcja premium Uzyskaj dostęp do całej strony Wesprzyj rozwój filmów matematycznych Zaloguj się lub Wykup Sprawdź Wykup Anuluj Pełny dostęp do zawartości na 15 dni za dostęp do zawartości na 30 dni za dostęp do zawartości na 45 dni za zł. Anuluj Układ nieoznaczony – wiele rozwiązań Zadanie. Rozwiąż układ równań. Określ, czy jest to układ oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x + 4y = 2}\\ {5x + 4y = 2} \end{array}} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x + 4y = 2}\\ {15x + 12y = 6} \end{array}} \right.\] Treść dostępna po opłaceniu abonamentu. Zadanie. Podaj jakie liczby należy wstawić za literkę „a” i „b”, aby układy były oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x – 4y = 5}\\ {ax – 4y = b} \end{array}} \right.\] Treść dostępna po opłaceniu abonamentu. Zadanie. Nie wykonując obliczeń określ, który układ jest oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,5x + 0,3y = 3}\\ {x + 0,6y = 4,3} \end{array}} \right.\] \[\left\{ \begin{matrix} x+3y=10 \\ 2x+6y=20 \\ \end{matrix} \right.\] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 2y = 4}\\ {x – 2y = 5} \end{array}} \right.\] Treść dostępna po opłaceniu abonamentu. Bądź na bieżąco z - At you can join numerous contests with valuable prizes! - Joining the website also provides access to the Mathematics Knowledge Base – the database will be regularly expanded, and its content is under the guidance of mathematicians. - You can add your own math-related content. Once checked by the teachers, other website users will use them. - By adding your content on our website you have access to the equation editor! To join a contest, you must log in to your account at the website. Then open the "Contests" tab in the menu at the top of the site. This will open a list of contests. Clicking "View" will open the details of a selected contest. A description, prizes available to win, and contest entry topics are available there. Here you can select and book a topic for which you want to prepare a contest entry. Opis zadania Jest to zadanie maturalne zamknięte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2011 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 1 punkt. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: układy równań i proporcja. Treść zadania Układ równań \( \begin{cases} 4x+2y=10 \\ 6x+ay=15 \end{cases} \) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli A) \( a = -1 \) B) \( a = 0 \) C) \( a = 2 \) D) \( a = 3 \) Podpowiedź do zadania Jeżeli układ ma mieć nieskończenie wiele rozwiązań to jedno równanie musi być wielokrotnością drugiego. Zatem tworzymy proporcję aby wyliczyć \( a \). Rozwiązanie zadania Jeżeli układ ma mieć nieskończenie wiele rozwiązań to jedno równanie musi być wielokrotnością drugiego. \[ \frac{4x}{6x}=\frac{2y}{ay}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3} \]\[ \frac{2y}{ay}=\frac{2}{3} \]\[ 6y=2ya\; /:2y \]\[ a=3 \]

układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań jeśli